🎲Probabilités conditionnelles et indépendance

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé est

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.$

On la note aussi $P(B \mid A)$. C'est la proportion de cas où $B$ se produit parmi les cas où $A$ est déjà réalisé : on « se restreint » à l'univers $A$.

On en déduit la formule des probabilités composées :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$

Pour un $A$ fixé, $B \mapsto P_A(B)$ est une probabilité : $P_A(A) = 1$, $0 \le P_A(B) \le 1$ et $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$.

Pour calculer $P_A(B)$ :

1. Identifie l'événement « conditionnant » $A$ (« sachant que… »).
2. Cherche $P(A)$ et $P(A \cap B)$ (intersection : les deux à la fois).
3. Applique $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
4. Vérifie que le résultat est bien compris entre $0$ et $1$.

Dans une classe, $P(A) = 0{,}4$ (être en section sportive) et $P(A \cap B) = 0{,}1$ (être en section sportive et demi-pensionnaire).

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$.

Parmi les sportifs, $25\,\%$ sont demi-pensionnaires.

Vérification par les probabilités composées : $P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1 = P(A \cap B)$. ✓

Ne confonds pas $P_A(B)$ (proportion parmi $A$, dénominateur $P(A)$) et $P(A \cap B)$ (proportion dans tout l'univers). En général $P_A(B) \neq P_B(A)$.

Un arbre pondéré représente une expérience à plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité ; il obéit à trois règles :

$\bullet$ Loi des nœuds : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.

$\bullet$ Loi des chemins : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent. Ainsi $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

$\bullet$ Loi des probabilités totales : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.

Les branches issues du premier nœud portent $P(A)$, $P(\bar{A})$ ; les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\bar{B})$, etc.

Pour construire et lire un arbre :

1. Place au premier niveau l'événement dont tu connais les probabilités « simples » ($A$, $\bar{A}$).
2. Au second niveau, mets les probabilités conditionnelles ($P_A(B)$…).
3. Multiplie le long d'un chemin pour une intersection.
4. Additionne les chemins pour un événement « total ».

Une usine a deux machines. La machine $A$ produit $60\,\%$ des pièces ($P(A)=0{,}6$), la machine $\bar{A}$ les $40\,\%$ restants. Parmi les pièces de $A$, $5\,\%$ sont défectueuses ($P_A(D)=0{,}05$) ; parmi celles de $\bar{A}$, $8\,\%$ le sont ($P_{\bar{A}}(D)=0{,}08$).

Chemin « machine $A$ et défectueuse » : $P(A \cap D) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$.

Chemin « machine $\bar{A}$ et défectueuse » : $P(\bar{A} \cap D) = 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}032$.

Vérifie toujours la loi des nœuds : à chaque nœud les probabilités doivent totaliser $1$. Si ce n'est pas le cas, c'est qu'une branche est mal placée ou oubliée.

Les événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l'univers entier (chaque issue appartient à exactement un $A_i$).

Pour tout événement $B$, la formule des probabilités totales donne

$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i \cap B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\, P_{A_i}(B).$

Cas le plus fréquent avec la partition $\{A\,;\,\bar{A}\}$ :

$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(B).$

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Imagine $B$ comme une flaque d'eau, et la partition $A_1, A_2, \dots, A_n$ comme un carrelage qui recouvre tout le sol sans trou ni recouvrement. La flaque est alors découpée par les joints en morceaux $A_1\cap B,\ A_2\cap B,\ \dots$ qui ne se chevauchent pas (les $A_i$ sont incompatibles) et qui, recollés, redonnent toute la flaque (les $A_i$ couvrent l'univers). L'aire totale est la somme des aires des morceaux : $P(B) = \sum_i P(A_i\cap B)$. Et comme chaque morceau vaut $P(A_i\cap B) = P(A_i)\,P_{A_i}(B)$, on obtient la formule. C'est juste « la flaque = la somme de ses bouts ».

1. Vérifie que les $A_i$ forment bien une partition (incompatibles, réunion = univers).
2. Repère tous les chemins de l'arbre qui mènent à $B$.
3. Calcule la probabilité de chaque chemin (produit).
4. Additionne ces probabilités.

Reprenons l'usine ($P(A)=0{,}6$, $P_A(D)=0{,}05$, $P_{\bar{A}}(D)=0{,}08$).

Probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse :

$P(D) = P(A)\,P_A(D) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(D)$

$\phantom{P(D)} = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}08 = 0{,}03 + 0{,}032 = 0{,}062$.

Soit $6{,}2\,\%$ de pièces défectueuses au total.

N'additionne jamais directement $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$ : il faut pondérer chaque chemin par $P(A)$ ou $P(\bar{A})$ avant d'additionner.

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire lorsque

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$

De façon équivalente, si $P(A) \neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants ssi $P_A(B) = P(B)$.

Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi (de même $\bar{A}$ et $B$, $\bar{A}$ et $\bar{B}$).

Attention : « indépendants » n'est pas « incompatibles ». Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) avec $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$, ils ne sont pas indépendants.

⭐ Pour les curieux — pourquoi ça marche ? Pourquoi, si $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi ? L'idée : l'événement $A$ se découpe en deux morceaux disjoints, « $A$ et $B$ » et « $A$ et $\bar{B}$ », donc $P(A) = P(A\cap B) + P(A\cap\bar{B})$. On isole le morceau cherché : $P(A\cap\bar{B}) = P(A) - P(A\cap B) = P(A) - P(A)P(B)$ en utilisant l'indépendance. On factorise par $P(A)$ : $P(A\cap\bar{B}) = P(A)\bigl(1 - P(B)\bigr) = P(A)\,P(\bar{B})$. C'est exactement la définition de l'indépendance de $A$ et $\bar{B}$ : intuitivement, si savoir que $B$ est arrivé ne change rien à $A$, alors savoir que $B$ n'est PAS arrivé ne change rien non plus.

Pour tester l'indépendance de $A$ et $B$ :

1. Calcule $P(A) \times P(B)$.
2. Calcule $P(A \cap B)$.
3. S'ils sont égaux : $A$ et $B$ sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas.

On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$.

$P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$.

Comme $P(A \cap B) = 0{,}2 = P(A) \times P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

On vérifie : $P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 = P(B)$. ✓

Le test est une égalité de produits, pas une intuition. Beaucoup d'élèves confondent indépendance et incompatibilité : ce sont des notions différentes (voire opposées).

La formule de Bayes permet d'« inverser » un conditionnement : passer de $P_A(B)$ à $P_B(A)$. Pour $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$,

$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(B)}.$

Le dénominateur $P(B)$ se calcule en général par les probabilités totales :

$P_B(A) = \dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(A)\,P_A(B) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(B)}.$

1. Repère la probabilité conditionnelle demandée $P_B(A)$ (« sachant $B$ »).
2. Calcule le numérateur $P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B)$.
3. Calcule le dénominateur $P(B)$ par les probabilités totales.
4. Divise et vérifie $0 \le P_B(A) \le 1$.

Un test de dépistage : $2\,\%$ de la population est malade ($P(M)=0{,}02$). Le test est positif chez $95\,\%$ des malades ($P_M(T)=0{,}95$) et chez $5\,\%$ des non-malades ($P_{\bar{M}}(T)=0{,}05$). Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?

$P(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}019 + 0{,}049 = 0{,}068$.

$P_T(M) = \dfrac{0{,}02 \times 0{,}95}{0{,}068} = \dfrac{0{,}019}{0{,}068} \approx 0{,}279$.

Seulement $\approx 27{,}9\,\%$ : un test positif ne signifie pas « malade à coup sûr » car la maladie est rare.

Le résultat surprend souvent : avec une maladie rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs. Bayes mélange la fiabilité du test et la rareté de la maladie.

Mettons ensemble les outils du chapitre pour traiter une expérience à deux étapes.

$\bullet$ Sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin (intersection) et on additionne les chemins menant à un même événement (probabilités totales).

$\bullet$ Pour inverser un conditionnement (passer de $P_A(B)$ à $P_B(A)$), on utilise Bayes, dont le dénominateur $P(B)$ vient des probabilités totales.

$\bullet$ Deux événements sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ; ce n'est pas la même chose qu'incompatibles ($A\cap B=\varnothing$).

Réflexe utile : avant tout calcul, dessine l'arbre, place les probabilités simples au premier niveau et les conditionnelles au second.

Pour une expérience à deux étapes :

1. Construis l'arbre (1er niveau : $A,\bar{A}$ ; 2e niveau : conditionnelles).
2. Pour une intersection : multiplie le long du chemin.
3. Pour un événement « total » : additionne les chemins.
4. Pour une probabilité « à rebours » : applique Bayes.

Usine : $P(A)=0{,}6$, $P_A(D)=0{,}05$, $P_{\bar{A}}(D)=0{,}08$.

Probabilités totales : $P(D)=0{,}6\times 0{,}05+0{,}4\times 0{,}08=0{,}062$.

Bayes (une pièce défectueuse vient-elle de $A$ ?) : $P_D(A)=\dfrac{0{,}03}{0{,}062}\approx 0{,}484$.

Un arbre bien tracé évite presque toutes les erreurs : les produits (chemins) et les sommes (totales) s'y lisent directement.